A sweep algorithm for triangular matrices and its statistical applications

Abstract

Ein Sweepoperator ist definiert für schrittweise sequentielle Invertierung von triangulären Matrizen und ihre Werte werden verglichen mit denen des Sweepoperators zur Invertierung symmetrischer Matrizen. Der Algorithus wird angewendet, um Folgeverteilungen zu untersuchen, die über einen azyklischen Graphen gebildet wurden. Drei Hauptanwendungen werden abgeleitet. Die erste dient der Prüfung einer einfachen Form für die Folgeverteilung, die nach Marginalisierung über und Konditionalisierung von beliebigen Variablensubsets in solch einem linearen System resultiert. Die zweite Anwendung betrifft die Ausweitung der Ergebnisse für lineare Systeme auf generelle Verteilungen durch die Interpretation von strukturellen Nullen in den Matrizen durch Ausdrücke für fehlende Ecken in assoziierten Graphen und symbolische Matrixtransformationen als Grafenmodifikation. Die dritte dient dem Nachweis der Equivalenz von mehreren Kriterien für das Herauslesen von Unabhängigkeitsfeststellungen aus gerichteten azyklischen Graphen. (OH)

A sweep operator is defined for stepwise sequential inversion of triangular matrices and its properties are compared to those of the sweep operator for inverting symmetric matrices. The algorithm is used to study joint distributions generated over a directed acyclic graph. Three main applications are derived. The first is to prove a simple form for the joint distribution resulting after marginalising over and conditioning on arbitrary subsets of variables in such a linear system. The second is to extend the results for linear systems to general distributions by interpreting structural zeros in matrices in terms of missing edges in associated graphs and symbolic matrix transformations as modifications of graphs. The third is to show the equivalence of several criteria for reading off independence statements from directed acyclic graphs.' (author's abstract)|